Ukuran Lebesgue pertama kali ditemukan oleh Henry Leon Lebesgue, pada
tahun 1875-1944. Ukuran Lebesgue dari A yang dinotasikan m (A) merupakan
ukuran himpunan A Ì Â (ukuran dari suatu bilangan real nonnegatif). Oleh
karena itu, ukuran Lebesgue dinobatkan sebagai pembuka pintu teori tentang
ukuran dalam garis bilangan real. Berdasarkan latar belakang tersebut, penelitian
ini dilakukan dengan tujuan untuk: menyebutkan, mendiskripsikan, menganalisis,
dan membuktikan teorema-teorema yang berlaku pada ukuran Lebesgue dalam
garis real.
Penelitian ini lebih bersifat analisis dan dilakukan dengan cara studi literatur
dengan mempelajari buku-buku teks penunjang dan konsultasi dengan dosen
pembimbing. Dalam hal ini penulis akan memaparkan dan menjelaskan definisi,
menganalisis dan membuktikan kebenaran teorema-teorema ukuran Lebesgue
yang terdiri dari: (1) Ukuran kumpulan terbuka terbatas, (2) Ukuran kumpulan
tertutup terbatas, (3) Ukuran luar dan ukuran dalam, (4) Ukuran kumpulan terukur
terbatas yang populer dengan Uji Caratheodory.
Teorema-teorema yang dianalisis dan dibuktikan kebenarannya, antara lain:
(1) Jika M menyatakan koleksi kumpulan terbuka terbatas dan m menyatakan
fungsi ukuran , maka m : M ®Â bersifat:
(a) 0 £ m £ (G) < ¥(G ÎM);
(b) ( 1,2), ( ) ( ); 1 2 1 2 G M i G G G G i Î = Í ⇒m £ m
(c) ( 1,2,...), , ( ) ( );
1 1
Σ ¥
=
¥
=
=
Î = Ç = ¹ ⇒
i
i
i
i i j i G M i G G f i j m UG m G
(d) ( 1,2,...) ( ).
1 1
Σ ¥
=
¥
=
=
Î = ⇒
i
i
i
i i G M i m UG m G
(2) Jika H menyatakan koleksi kumpulan tertutup terbatas, maka m : H ®Â
bersifat:
(a) 0 £ m (F) < ¥ (F Î H);
(b) ( 1,2), ( ) ( ); 1 2 1 2 F H i F F F F i Î = Í ⇒m £ m
(c) ( 1,2,...), , ( ) ( ).
tahun 1875-1944. Ukuran Lebesgue dari A yang dinotasikan m (A) merupakan
ukuran himpunan A Ì Â (ukuran dari suatu bilangan real nonnegatif). Oleh
karena itu, ukuran Lebesgue dinobatkan sebagai pembuka pintu teori tentang
ukuran dalam garis bilangan real. Berdasarkan latar belakang tersebut, penelitian
ini dilakukan dengan tujuan untuk: menyebutkan, mendiskripsikan, menganalisis,
dan membuktikan teorema-teorema yang berlaku pada ukuran Lebesgue dalam
garis real.
Penelitian ini lebih bersifat analisis dan dilakukan dengan cara studi literatur
dengan mempelajari buku-buku teks penunjang dan konsultasi dengan dosen
pembimbing. Dalam hal ini penulis akan memaparkan dan menjelaskan definisi,
menganalisis dan membuktikan kebenaran teorema-teorema ukuran Lebesgue
yang terdiri dari: (1) Ukuran kumpulan terbuka terbatas, (2) Ukuran kumpulan
tertutup terbatas, (3) Ukuran luar dan ukuran dalam, (4) Ukuran kumpulan terukur
terbatas yang populer dengan Uji Caratheodory.
Teorema-teorema yang dianalisis dan dibuktikan kebenarannya, antara lain:
(1) Jika M menyatakan koleksi kumpulan terbuka terbatas dan m menyatakan
fungsi ukuran , maka m : M ®Â bersifat:
(a) 0 £ m £ (G) < ¥(G ÎM);
(b) ( 1,2), ( ) ( ); 1 2 1 2 G M i G G G G i Î = Í ⇒m £ m
(c) ( 1,2,...), , ( ) ( );
1 1
Σ ¥
=
¥
=
=
Î = Ç = ¹ ⇒
i
i
i
i i j i G M i G G f i j m UG m G
(d) ( 1,2,...) ( ).
1 1
Σ ¥
=
¥
=
=
Î = ⇒
i
i
i
i i G M i m UG m G
(2) Jika H menyatakan koleksi kumpulan tertutup terbatas, maka m : H ®Â
bersifat:
(a) 0 £ m (F) < ¥ (F Î H);
(b) ( 1,2), ( ) ( ); 1 2 1 2 F H i F F F F i Î = Í ⇒m £ m
(c) ( 1,2,...), , ( ) ( ).
No comments:
Post a Comment