Persamaan Diophantine merupakan persamaan polynomial yang
mensyaratkan selesaiannya berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine dibagi
menjadi dua, yaitu persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan yang
berbentuk x2 - Dy2 = N merupakan bagian dari persamaan Diophantine non
linier dengan diberikan koefisien D bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna
dan konstanta N berupa bilangan bulat. Variabel x dan y adalah selesaian dari
persamaan tersebut. Persamaan ini disebut dengan persamaan Pell. Menyelesaikan
persamaan Pell dapat dilakukan dengan berbagai metode. Metode Brahmagupta
dan pecahan berulang telah digunakan untuk membahas persamaan Pell dengan
konstanta N = ±1 pada skripsi sebelumnya. Kesempatan kali ini penulis
perkenalkan penyelesaian persamaan Pell yang berbentuk x2 - Dy2 = ±4 dengan
menggunakan algoritma PQa dan metode matriks.
1. Menyelesaikan persamaan Pell x2 - Dy2 = ±4 dengan algoritma PQa dapat
dilakukan dengan beberapa langkah sebagai berikut:
a. Menentukan apakah: D º 0(mod 4) , D º1(mod 4) , dan D º 2 atau 3 (mod 4)
b. Menentukan nilai dari i a , Pi dan Qi dengan rumus:
( )
i
i
i Q
P D
a
+
= , i ³ 0, -1 -1 -1 = - i i i i P a Q P , i ³ 1 dan
1
2
-
-
=
i
i
i Q
D P
Q , i ³ 1
c. Menentukan nilai xi dan yi dengan i ³ 0 dengan rumus:
-1 -2 = + i i i i x a x x dan -1 -2 = + i i i i y a y y
d. Mensubtitusi nilai x dan y ke dalam persamaan Pell x2 - Dy 2 = ±4 untuk
mengetahui apakah x dan y merupakan solusi dari persamaan Pell x2 - Dy2 = 4
atau x2 - Dy 2 = -4.
2. Menyelesaikan persamaan Pell x2 - Dy2 = ±4 dengan metode matriks dapat
dilakukan dengan rumus-rumus sebagai berikut:
a. Untuk persamaan Pell 4 2 2 = - Dy x , maka ( )
= -1 2 -1
,
2
, n
n
n
n
n n
u v
x y , n ³ 1
b. Untuk persamaan Pell 4 2 2 - = - Dy x , maka ( )
= + +
+ + n
n
n
n
n n
u v
x y
2
,
2
, 2 1 2 1
2 1 2 1 ,
mensyaratkan selesaiannya berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine dibagi
menjadi dua, yaitu persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan yang
berbentuk x2 - Dy2 = N merupakan bagian dari persamaan Diophantine non
linier dengan diberikan koefisien D bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna
dan konstanta N berupa bilangan bulat. Variabel x dan y adalah selesaian dari
persamaan tersebut. Persamaan ini disebut dengan persamaan Pell. Menyelesaikan
persamaan Pell dapat dilakukan dengan berbagai metode. Metode Brahmagupta
dan pecahan berulang telah digunakan untuk membahas persamaan Pell dengan
konstanta N = ±1 pada skripsi sebelumnya. Kesempatan kali ini penulis
perkenalkan penyelesaian persamaan Pell yang berbentuk x2 - Dy2 = ±4 dengan
menggunakan algoritma PQa dan metode matriks.
1. Menyelesaikan persamaan Pell x2 - Dy2 = ±4 dengan algoritma PQa dapat
dilakukan dengan beberapa langkah sebagai berikut:
a. Menentukan apakah: D º 0(mod 4) , D º1(mod 4) , dan D º 2 atau 3 (mod 4)
b. Menentukan nilai dari i a , Pi dan Qi dengan rumus:
( )
i
i
i Q
P D
a
+
= , i ³ 0, -1 -1 -1 = - i i i i P a Q P , i ³ 1 dan
1
2
-
-
=
i
i
i Q
D P
Q , i ³ 1
c. Menentukan nilai xi dan yi dengan i ³ 0 dengan rumus:
-1 -2 = + i i i i x a x x dan -1 -2 = + i i i i y a y y
d. Mensubtitusi nilai x dan y ke dalam persamaan Pell x2 - Dy 2 = ±4 untuk
mengetahui apakah x dan y merupakan solusi dari persamaan Pell x2 - Dy2 = 4
atau x2 - Dy 2 = -4.
2. Menyelesaikan persamaan Pell x2 - Dy2 = ±4 dengan metode matriks dapat
dilakukan dengan rumus-rumus sebagai berikut:
a. Untuk persamaan Pell 4 2 2 = - Dy x , maka ( )
= -1 2 -1
,
2
, n
n
n
n
n n
u v
x y , n ³ 1
b. Untuk persamaan Pell 4 2 2 - = - Dy x , maka ( )
= + +
+ + n
n
n
n
n n
u v
x y
2
,
2
, 2 1 2 1
2 1 2 1 ,
No comments:
Post a Comment