Pada struktur aljabar dibahas mengenai dua himpunan tak kosong dengan
dua operasi biner yang disebut dengan modul. Selanjutnya dari modul sendiri
dapat dikembangkan menjadi beberapa sub pembahasan, di antaranya adalah
penjumlahan langsung. Perkalian langsung dari kumpulan Rmodul
disebut
dengan penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dari kumpulan
submodul disebut dengan penjumlahan langsung dalam. Tetapi penjumlahan
langsung luar dan penjumlahan langsung dalam menggunakan notasi yang sama.
Berdasarkan latar belakang tersebut penelitian dilakukan dengan tujuan untuk
menjelaskan tentang penjumlahan langsung pada modul dan sifatsifatnya.
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode kajian kepustakaan
atau studi literatur. Data yang di gunakan dalam penelitian ini adalah teorema
homomorfisme modul, teorema dasar isomorfisme modul dan definisi submodulsubmodul
bebas dari modul M.
Berdasarkan pembahasan dapat diperoleh bahwa penjumlahan langsung
pada modul ada dua jenis yaitu penjumlahan langsung luar dan penjumlahan
langsung dalam. Di antara sifatsifat
penjumlahan langsung pada modul adalah :
(1) Jika å = å
k
i
k
i n m
1 1
, maka i i n = m dengan i i i n , m Î N dan i N merupakan
submodulsubmodul
bebas M, untuk setiap i = 1, 2, K , k .
(2) Jika 1 1 r 1 L = N + L + N , L2 N r1 1 N r1 r2 + + = + L + , Lt = N r r r + + N k L + + + + L 1 2 3 L 1 , ,
maka t L , L , L , , L 1 2 3 K adalah modul bebas, dengan k N , N , , N 1 2 K submodulsubmodul
bebas M.
(3) Misal submodulsubmodul
bebas, dan Ni N i N i N iri = 1 Å 2 Å L Å . Akan
berlaku jika N ij adalah submodulsubmodul
i N , maka submodulsubmodul
N 11 , , N 1r 1 , N 21 , , N 2 r2 , N n1 , , N nrn
K K K adalah bebas.
(4) i M = Å N , dengan i N submodul M. Jika 1 1 r1 L = N + L + N ,
L2 N r1 1 N r1 r2 + + = + L + , L k = N r r + + N k K + + + L 1 2 K 1 , , maka i M = Å L . Jika
N i = Å N ij , maka M = Å N ij .
dua operasi biner yang disebut dengan modul. Selanjutnya dari modul sendiri
dapat dikembangkan menjadi beberapa sub pembahasan, di antaranya adalah
penjumlahan langsung. Perkalian langsung dari kumpulan Rmodul
disebut
dengan penjumlahan langsung luar dan penjumlahan langsung dari kumpulan
submodul disebut dengan penjumlahan langsung dalam. Tetapi penjumlahan
langsung luar dan penjumlahan langsung dalam menggunakan notasi yang sama.
Berdasarkan latar belakang tersebut penelitian dilakukan dengan tujuan untuk
menjelaskan tentang penjumlahan langsung pada modul dan sifatsifatnya.
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode kajian kepustakaan
atau studi literatur. Data yang di gunakan dalam penelitian ini adalah teorema
homomorfisme modul, teorema dasar isomorfisme modul dan definisi submodulsubmodul
bebas dari modul M.
Berdasarkan pembahasan dapat diperoleh bahwa penjumlahan langsung
pada modul ada dua jenis yaitu penjumlahan langsung luar dan penjumlahan
langsung dalam. Di antara sifatsifat
penjumlahan langsung pada modul adalah :
(1) Jika å = å
k
i
k
i n m
1 1
, maka i i n = m dengan i i i n , m Î N dan i N merupakan
submodulsubmodul
bebas M, untuk setiap i = 1, 2, K , k .
(2) Jika 1 1 r 1 L = N + L + N , L2 N r1 1 N r1 r2 + + = + L + , Lt = N r r r + + N k L + + + + L 1 2 3 L 1 , ,
maka t L , L , L , , L 1 2 3 K adalah modul bebas, dengan k N , N , , N 1 2 K submodulsubmodul
bebas M.
(3) Misal submodulsubmodul
bebas, dan Ni N i N i N iri = 1 Å 2 Å L Å . Akan
berlaku jika N ij adalah submodulsubmodul
i N , maka submodulsubmodul
N 11 , , N 1r 1 , N 21 , , N 2 r2 , N n1 , , N nrn
K K K adalah bebas.
(4) i M = Å N , dengan i N submodul M. Jika 1 1 r1 L = N + L + N ,
L2 N r1 1 N r1 r2 + + = + L + , L k = N r r + + N k K + + + L 1 2 K 1 , , maka i M = Å L . Jika
N i = Å N ij , maka M = Å N ij .
No comments:
Post a Comment