Persamaan diferensial linier homogen dapat diselesaikan dengan
menggunakan diagonalisasi matriks Dengan diagonalisasi matriks koefisien suatu
persamaan dibentuk menjadi matriks diagonal sehingga persamaan yang semula
melibatkan banyak fungsi yang tidak diketahui menjadi persamaan yang hanya
mempunyai satu fungsi yang tak diketahui sehingga persamaan tersebut mudah
untuk dipecahkan.
Tujuan dari penulisan ini adalah: untuk mengetahui cara penggunaan
diagonalisasi matriks dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier homogen
orde-n dengan koefisien konstan.
Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur.
Dimana penulis mengumpulkan beberapa buku penunjang yaitu: aljabar linier
elementer, persamaan diferensial dan Literatur pendamping lainnya. Dengan cara
membaca dan memahami materi yang berkaitan dengan pokok bahasan, kemudian
dari buku-buku tersebut digabungkan beberapa teori yang terkait dari satu mata
kuliah yang kemudian mengaplikasikannya pada mata kuliah lainnya.
Langkah-langkah menyelesaikan sistem PD dengan cara diagonalisasi
matriks adalah. (1) Dengan menyatakan persamaan diferensial di dalam bentuk
matriks Y’=AY dengan A sebagai matriks koefisien. (2) menentukan nilai-nilai
eigen (λ1, λ2,…,λn) dari (A –l I)Y=0. (3) menentukan vektor eigen dari matriks A
yang yang bersesuaian dengan λ yaitu p1, p2,…,pn dari vektor eigen itu dibentuk
sebuah matriks P yang mendiagonalisasi matriks A. (4) dicari matriks invers dari
P yaitu P-1. (5) proses diagonalisasi matriks A (D=P-1 AP). (6) proses penyulihan
(substitusi) Y=PU dan Y’=PU’ untuk mendapatkan “sistem diagonal” yang baru
U=DU, dengan D=P-1AP, dengan memecahkan U’=DU diperoleh penyelesaian
dari persamaan diferensial linier homogen orde-n. (7) untuk memperoleh
penyelesaian matriks yang baru diperoleh (U’) dibentuk ke dalam y = cerx.
Apabila nilai eigen yang diperoleh real dan berlainan (λ1≠λ2≠…≠ λn) maka
penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n: y(x)=c1eπ1x + c1eπ2x
+….c1eπnx. Apabila nilai eigennya real dan berulang (λ1 = λ2 =…= λn) maka
penyelesaian dapat dilakukan dengan menggunakan matriks Jordan (J) yang tidak
lagi berupa matriks diagonal. Sehingga untuk mencari matriks non singular P
digunakan persamaan PJ=AP. Karena PJ=AP maka J=P-1 AP dan Y=PU, maka
dari Y’=PU’ diperoleh U’=JU sebagai pemecahan dari persamaan diferensial. Jadi
penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n: y(x) = c1
eπx (c1 + c2x
+ c3e2 +…+ cnxn-1). Apabila nilai eigennya bilangan imajiner (λ1,2 = a ± bi) maka
penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n adalah: y(x) = eax (cos
bx + sin bx).
menggunakan diagonalisasi matriks Dengan diagonalisasi matriks koefisien suatu
persamaan dibentuk menjadi matriks diagonal sehingga persamaan yang semula
melibatkan banyak fungsi yang tidak diketahui menjadi persamaan yang hanya
mempunyai satu fungsi yang tak diketahui sehingga persamaan tersebut mudah
untuk dipecahkan.
Tujuan dari penulisan ini adalah: untuk mengetahui cara penggunaan
diagonalisasi matriks dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier homogen
orde-n dengan koefisien konstan.
Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur.
Dimana penulis mengumpulkan beberapa buku penunjang yaitu: aljabar linier
elementer, persamaan diferensial dan Literatur pendamping lainnya. Dengan cara
membaca dan memahami materi yang berkaitan dengan pokok bahasan, kemudian
dari buku-buku tersebut digabungkan beberapa teori yang terkait dari satu mata
kuliah yang kemudian mengaplikasikannya pada mata kuliah lainnya.
Langkah-langkah menyelesaikan sistem PD dengan cara diagonalisasi
matriks adalah. (1) Dengan menyatakan persamaan diferensial di dalam bentuk
matriks Y’=AY dengan A sebagai matriks koefisien. (2) menentukan nilai-nilai
eigen (λ1, λ2,…,λn) dari (A –l I)Y=0. (3) menentukan vektor eigen dari matriks A
yang yang bersesuaian dengan λ yaitu p1, p2,…,pn dari vektor eigen itu dibentuk
sebuah matriks P yang mendiagonalisasi matriks A. (4) dicari matriks invers dari
P yaitu P-1. (5) proses diagonalisasi matriks A (D=P-1 AP). (6) proses penyulihan
(substitusi) Y=PU dan Y’=PU’ untuk mendapatkan “sistem diagonal” yang baru
U=DU, dengan D=P-1AP, dengan memecahkan U’=DU diperoleh penyelesaian
dari persamaan diferensial linier homogen orde-n. (7) untuk memperoleh
penyelesaian matriks yang baru diperoleh (U’) dibentuk ke dalam y = cerx.
Apabila nilai eigen yang diperoleh real dan berlainan (λ1≠λ2≠…≠ λn) maka
penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n: y(x)=c1eπ1x + c1eπ2x
+….c1eπnx. Apabila nilai eigennya real dan berulang (λ1 = λ2 =…= λn) maka
penyelesaian dapat dilakukan dengan menggunakan matriks Jordan (J) yang tidak
lagi berupa matriks diagonal. Sehingga untuk mencari matriks non singular P
digunakan persamaan PJ=AP. Karena PJ=AP maka J=P-1 AP dan Y=PU, maka
dari Y’=PU’ diperoleh U’=JU sebagai pemecahan dari persamaan diferensial. Jadi
penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n: y(x) = c1
eπx (c1 + c2x
+ c3e2 +…+ cnxn-1). Apabila nilai eigennya bilangan imajiner (λ1,2 = a ± bi) maka
penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n adalah: y(x) = eax (cos
bx + sin bx).
No comments:
Post a Comment